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Mathematik - Klassenstufe 11

Klassenstufe 11 - Differentialrechnung

Steigung, Änderungsrate und Ableitung

link Vergleich mit der Physik: Gleichförmige und beschleunigte Bewegung
link Durchschnitte- und Momentangeschwindigkeit, Berechnung und Vergleich mit der Physik
link Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate: Erklärung und Rechenbeispiel
link Vorlage: Veranschaulichung Sekanten- und Tangentensteigung, d.h. mittlere und momentane Änderungsrate (Achtung: Makros aktivieren)

Nullstellen

link Nullstellenberechnung für verschiedene Terme: Vorgehensweise und Rechenbeispiel
link link Klapptest: Berechnungen von Nullstellen von quadratischen Funktionen
(Nur bei Excel: F9 ergibt neue Aufgaben)

Polynomdivision

link Polynomdivision: Erklärung am Rechenbeispiel
https://youtu.be/yxvRymA64Fw Polynomdivision
link link Klapptest: Aufgaben zur Polynomdivision
(Nur bei Excel: F9 ergibt neue Aufgaben)

Kurvendiskussion

Ableitungen

https://youtu.be/vBePEt4dAPQ Ableitungsregeln (Potenzregel, Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel)
link link Klapptest: Lernkontrolle: Nullstellen und Ableitungen bestimmen
(Nur bei Excel: F9 ergibt neue Aufgaben)
https://youtu.be/7lWone4sV_M Kettenregel

Symmetrie und Verhalten gegen unendlich

link link Klapptest: Berechnungen von Nullstellen, Ableitungen, Symmetrie und Verhalten gegen Unendlich
(Nur bei Excel: F9 ergibt neue Aufgaben)

Extremstellen / Wendestellen

link Extremstellen bestimmen - Hintergrundwissen
link Extremstellen und Zusammenhang zum Graphen von f, f' und f''
link Ablesen von f, f´und f´´ am Graphen
Video Ablesen von f, f´und f´´ am Graphen
link Kurvendiskussion - Hintergrundwissen: Zusammenhänge zwischen f, f´und f´´ 
Notwendiges und hinreichendes Kriterium für Extrem- und Wendestellen
link Kurvendiskussion - Anschauliche Erklärung von hinreichendem und notwendigem Kriterium bei der Suche nach Extrem- und Wendestellen
link link Klapptest: Bestimmung von Extremstellen (mit Vorzeichenwechselkriterium)
(Nur bei Excel: F9 ergibt neue Aufgaben)
link link Beispiel: Beispiele zur Bestimmung von Extremstellen (mit Vorzeichenwechselkriterium)
(Nur bei Excel: F9 ergibt neue Aufgaben)

Komplette Kurvendiskussion

https://youtu.be/1IWXHHJ_ITc Kurvendiskussion - anschaulich erklärt
https://youtu.be/CGbKg8brmms Kurvendiskussion - am Beispiel durchgeführt
link Kurvendiskussion - Das ultimative Übersichtsblatt
link Kurvendiskussion - anschaulich
link Kurvendiskussion - ein Rechenbeispiel

Kurvendiskussion mit Geogebra

https://youtu.be/gHVzYe7nct4 Kurvendiskussion mit Geogebra
link Kurvendiskussion mit Geogebra

Tangenten an den Graphen

link Funktionsgleichung einer Tangente an einen Graphen

Die e-Funktion

https://youtu.be/7lWone4sV_M Herleitung der e-Funktion
link Die natürliche Exponentialfunktion - Herleitung
Video Grenzwerte von Funktionen, vor allem der e-Funktion und Produkten von Funktionen, die eine e-Funktion beinhalten.

 


Klassenstufe 11 - Differentialrechnung
Wiederholung: Funktionswerte
Betrachten wir den Funktionsgraph einer Ortskurve. Der folgende Graph zur Funktion f(x) = 5x² soll beispielweise die Ortskurve eines Wanderers darstellen.
Man kann in blau ablesen, dass er nach einer Stunde (x=1) eine Strecke von 5 km (y=5) zurückgelegt hat. Umgekehrt kann man in rot sehen, dass er zum Beispiel die Strecke von 1,8 km (y=1,8) in ungefähr 0,6 Stunden (x=0,6) zurückgelegt hat.

Funktionen
 

Im folgenden interessieren wir uns aber nicht mehr für den Ort des Wanderers, sondern für dessen Geschwindigkeit.
 
Mittlere Änderungsrate
Betrachtet man das Weg-Zeit-Diagramm eines Schülers auf dem Schulweg, so kann man aus dem Graphen sehr viel herauslesen:
Wann ist er gerannt? Wann ist er gegangen? Wann ist er nochmal umgekehrt? Wann hat er Pause gemacht? 

Interpretation

In den Abschnitten d und f hat er gewartet. Das erkennt man daran, dass die Steigung des Graphen hier 0 ist, der Graph also waagrecht verläuft.
Im Abschnitt b ist er nochmal nach Hause zurück gegangen (wahrscheinlich hatte er seine Mathesachen vergessen). Man erkennt es daran, dass die Steigung hier negativ ist.
Im Abschnitt b ist er gerannt. Die Steigung ist nämlich deutlich größer als beispielsweise in den Abschnitten a, c oder g.

Die Steigung einer linearen Funktion:
Zum Berechnen der Steigung einer linearen Funktion benötigt man zwei Punkte des Graphen:
P1 (x1|y1) und P2 (x2|y2)

Steigung

Wir veranschaulichen uns das Problem durch Einzeichnen eines Steigungsdreiecks beliebiger Größe.
Es gilt für die Steigung m:

Steigung berechnen

Betrachtet man jetzt keine Geraden mehr, sondern beispielsweise eine quadratische Funktion, so ist eine Aussage über die Steigung nicht mehr ganz so einfach. Anders als bei einer Geraden, die überall gleichmäßig ansteigt oder abfällt, ändert sich die Steigung einer Kurve offenbar von Punkt zu Punkt.

Man muss daher zwei Geschwindigkeiten unterscheiden. Da ist zum einen die Durchschnittsgeschwindigkeit, die zum Beispiel 60km/h beträgt, wenn ich den 30km entfernten Ort in einer halben Stunde erreicht habe. Diese sagt aber nichts über die Momentangeschwindigkeit aus. Natürlich kann man auch bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 60km/h mit 100km/h geblitzt werden.

Die Mathematiker benutzen andere Begrifflichkeiten und reden von einer Änderungsrate. In der folgenden Tabelle ist die Übersetzung zwischen Physik und Mathematik dargestellt.

Physik Mathematik Am Graphen
Durchschnittsgeschwindigkeit Mittlere Änderungsrate Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten
Momentangeschwindigkeit Momentane Änderungsrate Steigung der Tangente in einem Punkt

Die Berechnung der mittleren Änderungsrate erfolgt, wie man es von früher kennt, mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Einzig spricht man jetzt nicht mehr von den Punkten P1 und P2 mit den Koordinaten (x|y), sondern von einer Stelle x0 und einer weiteren Stelle, die um ein kleines Stückchen (nennen wir es "h") weiter rechts liegt, also: x0+h. Für die y-Koordinate schreibt man f(x0) bzw. f(x0+h). Als Formel für die Berechnung der Steigung spricht man nun vom Differenzenquotienten

Sekantensteigung



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