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Mathematik - Klassenstufe 11
Übergang Klassenstufe 10 - 11 : Bist du fit?
linklink Klapptest Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von 2 Brüchen
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
linklink Klapptest Terme vereinfachen (verschiedene Rechenregeln) 
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
link Lernhilfe Termumformungen und Binomische Formeln
linklink Klapptest Terme vereinfachen und Gleichungen lösen 
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
linklink Klapptest Bruchgleichungen lösen - Aufgabenblatt mit Lösungen erzeugen
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
link Lernhilfe Lineare Funktionen
linklink Klapptest Funktionsgleichungen bestimmen, Schnittpunkte mit den Achsen ermitteln, ... 
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
link Lernhilfe Quadratische Funktionen: Umformungen Scheitelpunkt-, Normal- und faktorisierte Form
link Lernhilfe Nullstellen von quadratischen Funktionen in Normal- und Scheitelpuntform finden. 
linklink Klapptest Darstellungsformen umformen, Nullstellen ermitteln 
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
link Lernhilfe Übersicht über Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, Wurzel- und lineare Funktion
link Lernhilfe Fit für die MSS ? -> Übungsaufgaben + Grundlagenwissen aus der Sek I.

Klassenstufe 11 - Differentialrechnung
link Lernhilfe Vergleich mit der Physik: Gleichförmige und beschleunigte Bewegung
link Lernhilfe Durchschnitte- und Momentangeschwindigkeit, Berechnung und Vergleich mit der Physik
link Lernhilfe Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate: Erklärung und Rechenbeispiel
link vorlage Excel-Vorlage: Veranschaulichung Sekanten- und Tangentensteigung, d.h. mittlere und momentane Änderungsrate (Achtung: Makros aktivieren)
link Lernhilfe Nullstellenberechnung für verschiedene Terme: Vorgehensweise und Rechenbeispiel
linklink Klapptest Berechnungen von Nullstellen von quadratischen Funktionen
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
link Lernhilfe Polynomdivision: Erklärung am Rechenbeispiel
https://youtu.be/6rEJszRO8UU Video
Polynomdivision
linklink Klapptest Aufgaben zur Polynomdivision
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
link Lernhilfe Extremstellen bestimmen - Hintergrundwissen
link Lernhilfe Ablesen von f, f´und f´´ am Graphen
link Lernhilfe Kurvendiskussion - Hintergrundwissen: Zusammenhänge zwischen f, f´und f´´ 
Notwendiges und hinreichendes Kriterium für Extrem- und Wendestellen
link Lernhilfe Kurvendiskussion - Anschauliche Erklärung von hinreichendem und notwendigem Kriterium bei der Suche nach Extrem- und Wendestellen
https://youtu.be/1IWXHHJ_ITc Video
Kurvendiskussion - anschaulich erklärt
link Lernhilfe Kurvendiskussion - anschaulich
link Lernhilfe Kurvendiskussion
link Lernhilfe Kurvendiskussion mit Geogebra
link Lernhilfe Funktionsgleichung einer Tangente an einen Graphen
link Lernhilfe Extremwertaufgaben
link Lernhilfe Die natürliche Exponentialfunktion


Klassenstufe 11 - Differentialrechnung
Wiederholung: Funktionswerte
Betrachten wir den Funktionsgraph einer Ortskurve. Der folgende Graph zur Funktion f(x) = 5x² soll beispielweise die Ortskurve eines Wanderers darstellen.
Man kann in blau ablesen, dass er nach einer Stunde (x=1) eine Strecke von 5 km (y=5) zurückgelegt hat. Umgekehrt kann man in rot sehen, dass er zum Beispiel die Strecke von 1,8 km (y=1,8) in ungefähr 0,6 Stunden (x=0,6) zurückgelegt hat.

Funktionen
 

Im folgenden interessieren wir uns aber nicht mehr für den Ort des Wanderers, sondern für dessen Geschwindigkeit.
 
Mittlere Änderungsrate
Betrachtet man das Weg-Zeit-Diagramm eines Schülers auf dem Schulweg, so kann man aus dem Graphen sehr viel herauslesen:
Wann ist er gerannt? Wann ist er gegangen? Wann ist er nochmal umgekehrt? Wann hat er Pause gemacht? 

Interpretation

In den Abschnitten d und f hat er gewartet. Das erkennt man daran, dass die Steigung des Graphen hier 0 ist, der Graph also waagrecht verläuft.
Im Abschnitt b ist er nochmal nach Hause zurück gegangen (wahrscheinlich hatte er seine Mathesachen vergessen). Man erkennt es daran, dass die Steigung hier negativ ist.
Im Abschnitt b ist er gerannt. Die Steigung ist nämlich deutlich größer als beispielsweise in den Abschnitten a, c oder g.

Die Steigung einer linearen Funktion:
Zum Berechnen der Steigung einer linearen Funktion benötigt man zwei Punkte des Graphen:
P1 (x1|y1) und P2 (x2|y2)

Steigung

Wir veranschaulichen uns das Problem durch Einzeichnen eines Steigungsdreiecks beliebiger Größe.
Es gilt für die Steigung m:

Steigung berechnen

Betrachtet man jetzt keine Geraden mehr, sondern beispielsweise eine quadratische Funktion, so ist eine Aussage über die Steigung nicht mehr ganz so einfach. Anders als bei einer Geraden, die überall gleichmäßig ansteigt oder abfällt, ändert sich die Steigung einer Kurve offenbar von Punkt zu Punkt.

Man muss daher zwei Geschwindigkeiten unterscheiden. Da ist zum einen die Durchschnittsgeschwindigkeit, die zum Beispiel 60km/h beträgt, wenn ich den 30km entfernten Ort in einer halben Stunde erreicht habe. Diese sagt aber nichts über die Momentangeschwindigkeit aus. Natürlich kann man auch bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 60km/h mit 100km/h geblitzt werden.

Die Mathematiker benutzen andere Begrifflichkeiten und reden von einer Änderungsrate. In der folgenden Tabelle ist die Übersetzung zwischen Physik und Mathematik dargestellt.

Physik Mathematik Am Graphen
Durchschnittsgeschwindigkeit Mittlere Änderungsrate Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten
Momentangeschwindigkeit Momentane Änderungsrate Steigung der Tangente in einem Punkt

Die Berechnung der mittleren Änderungsrate erfolgt, wie man es von früher kennt, mit Hilfe des Steigungsdreiecks. Einzig spricht man jetzt nicht mehr von den Punkten P1 und P2 mit den Koordinaten (x|y), sondern von einer Stelle x0 und einer weiteren Stelle, die um ein kleines Stückchen (nennen wir es "h") weiter rechts liegt, also: x0+h. Für die y-Koordinate schreibt man f(x0) bzw. f(x0+h). Als Formel für die Berechnung der Steigung spricht man nun vom Differenzenquotienten

Sekantensteigung



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