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Mathematik - Klassenstufe 8

Übergang Klassenstufe 7 - 8 : Bist du fit?
linklink Klapptest Terme vereinfachen, Rechnen mit rationalen Zahlen, Lösen von einfachen Gleichungen
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)

Klassenstufe 8 - Kongruenzsätze
link Lernhilfe Wiederholung: Haus der Vierecke


Klassenstufe 8 - Kongruenzsätze
Kongruenz
Betrachtet man die folgenden Dreiecke, so entdeckt man gleiche Dreiecke.
- Dreieck 7 und Dreieck 9 lassen sich durch Verschieben aufeinanderlegen.
- Dreieck 2 und Dreieck 4 lassen sich durch Drehen und Verschieben aufeinanderlegen.
- Dreieck 4 und Dreieck 5 lassen sich durch Spiegeln und Verschieben aufeinanderlegen.
Dreiecke 
Kongruenz

Zwei Dreiecke, die sich durch Drehen, Spiegeln und Verschieben zur Deckung bringen lassen, heißen deckungsgleich oder kongruent.
Wiederholung Dreiecke
Das Ausschneiden und Übereinanderlegen von Dreiecken ist nicht immer möglich. Vor allem, wenn es sich um Aufgaben aus dem Mathebuch handelt. Vielleicht funktioniert es auch, indem man entsprechende Größen misst. Schauen wir uns doch nochmal ein Dreieck an.

Bei einem Dreieck gibt es drei Seitenlängen. Diese werden mit Kleinbuchstaben (a,b,c) entgegen dem Uhrzeigersinn benannt. Darüber hinaus gibt es drei Winkel. Diese werden mit griechischen Buchstaben benannt. Der jeweilige Winkel liegt der entsprechenden Seite gegenüber.

Dreieck

 
Es ist klar:
Stimmen zwei Dreiecke in allen 6 Größen (3 Seiten, 3 Winkel) überein, so sind sie kongruent.

Zeichnet man ein Dreieck aus 6 gegebenen Größen, so stellt man fest, dass man gar nicht alle Größen zum Zeichnen benötigt. Meist sind drei Größen zum Zeichnen ausreichend. Wir untersuchen also, ob Dreiecke bei gegebenen drei Größen eindeutig konstruierbar sind und damit zueinander kongruent sind.

Es kommen die folgenden Kombinationsmöglichkeiten für drei Größen in Frage:
- 3 Winkel
- 3 Seiten
- 2 Seiten und 1 Winkel
- 1 Seite und 2 Winkel

Man kann die letzten beiden Fälle noch weiter unterscheiden, indem man betrachtet, welche Seiten (S) und welche Winkel (W) gegeben sind. Es ergeben sich damit nun sechs Möglichkeiten:

WWW        SSS        SWS        SSW        WWS        WSW

SSW entspricht zwei Seiten und dem daran anschließenden Winkel, SWS entspricht zwei Seiten und dem dazwischenliegenden Winkel.
WWS entspricht zwei Winkeln und der daran anschließenden Seite, WSW entspricht zwei Winkeln und der dazwischenliegenden Seite.

Nicht alle der gefundenen Möglichkeiten funktionieren. Jedoch lassen sich für die folgenden Kongruenzsätze kongruente Dreiecke zeichnen.
Kongruenzsätze

Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn die folgenden Größen gegeben sind
- drei Seiten (SSS)
-
zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS)
- zwei Winkel und die eingeschlossene Seite (WSW)

Zur Überprüfung, ob zwei  Dreiecke kongruent zueinander sind, genügt ein Vergleich von 3 entsprechenden Größen (SSS, SWS, WSW).
Es gibt jedoch zwei Fallen. Es lässt sich kein Dreieck zeichnen, wenn
- die Summe der gegebenen Winkel größer als 180° ist.
- bei SSS die Summe der kleineren Seiten kleiner als die größte Seite ist. 
Untersuchung der anderen Kobinationen (WWW, SSW, WWS)
WWS:
Im Falle von gegebenen Größen WWS kann man über die Winkelsumme im Dreieck (180°) den dritten Winkel ausrechnen. Lässt man dann einen Winkel weg und nimmt dafür den berechneten, neuen Winkel, so erhält man den Kongruenzsatz WSW.

Kongruenzsatz SsW:
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten sowie dem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüber liegt. 

ssw ssw

SsW:
Sind zwei Seiten gegeben, sowie der Winkel, der der kürzeren Seite gegenüber liegt, so ist die Konstruktion nicht eindeutig. In diesem Fall schneidet der Kreis bei der Konstruktion den freien Schenkel zweimal.

ssw ssw


WWW:
Die Konstrukion bei drei gegebenen Winkeln ist nicht eindeutig. Es entstehen ähnliche Dreiecke, die aber unterschiedliche Größe haben.

www
Konstruktion mit besonderen Größen
Es ist möglich auch eindeutige Dreiecke zu konstruieren, wenn nicht nur Seiten und Winkel, sondern auch die Höhe oder Seitenhalbierende gegeben sind.
Zur Wiederholung hier nochmal die Definition der beiden Begriffe:

Höhe:
Die Höhe einer Seite verläuft senkrecht auf einer Seite durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.
Seitenhalbierende:
Die Seitenhalbierende läuft von der Mitte einer Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt.
Vierecke
Konstruktion von Vierecken:
Zur eindeutigen Konstruktion eines Vierecks sind fünf geeignete Angaben notwendig.

Bei besonderen Vierecken (Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez, Drachen), kann die Anzahl der notwendigen Angaben geringer sein, da man unterschiedliche Eigenschaften (gegenüberliegende Seiten sind parallel, gegenüberliegende Seiten sind gleich lang, ...) ausnutzen kann. 

Zusammenfassen der Dreieckskonstruktionen
Dreieckskonstruktionen

Beachte stets die Lage der Seiten und Winkel: a, b und c laufen gegen den Uhrzeigersinn, ebenso die Winkel. Der jeweilige Winkel liegt gegenüber von der entsprechenden Seite.

SWW und WWS
 • berechne den dritten Winkel (die Summe der Winkel beträgt 180°)
 • weiter wie bei WSW

WSW
  • zeichne die Seite
  • zeichne Halbgeraden an die Eckpunkte der Strecke mit den gegebenen Winkeln zur Strecke
  • der Schnittpunkt der Halbgeraden ist der dritte Punkt

SsW und WsS
  • zeichne die kleine Seite
  • zeichne einen Schenkel im gegebenen Winkel an den richtigen Eckpunkt der Seite
  • zeichne einen Kreisbogen um den anderen Eckpunkt der kleinen Seite mit dem Radius der Seitenlänge der großen Seite auf den Winkelschenkel
  • der Schnittpunkt von Kreisbogen und Winkelschenkel ist der dritte Punkt

SWS
  • zeichne eine Seite
  • zeichne die zweite Seite im angegebenen Winkel zur ersten
  • verbinde die freien Enden der Seiten

SSS
  • zeichne eine Seite
  • zeichne um die Eckpunkte Kreise mit den Radien der anderen beiden Seiten
  • ein Schnittpunkt der Kreise ist der dritte Punkt (Orientierung beachten)



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