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Mathematik - Klassenstufe 10

Klassenstufe 10 - Trigonometrie
Youtube Video Erklärvideo zu den trigonometrischen Funktionen und Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
link Lernhilfe Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
link Lernhilfe Sinus, Kosinus und Tangens
linklink Klapptest Aufgaben zur Trigonometrie (rechtwinklige Dreiecke)
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
linklink Klapptest Aufgaben zur Trigonometrie (allgemeine Dreiecke)
(Nur in der Excelversion: zufallsgenerierte Klapptests und somit immer wieder neue Aufgaben)
link Link Dreiecksrechner : 3 Werte eintragen - der Rest wird berechnet
link Lernhilfe Die Sinusfunktion


Mathematik - Klassenstufe 10

Klassenstufe 10 - Trigonometrie
Wiederholung: Kongruente Dreiecke
Im Kapitel zu den Kongruenzsätzen hast du gelernt, dass man ein Dreieck mit drei Größenangaben (aus den 3 Seitenlängen und 3 Winkeln) meistens eindeutig zeichnen kann. Es gilt: 

Die Konstruktion eines Dreiecks ist eindeutig möglich, wenn folgende Größenangaben gegeben sind
•    die drei Seitenlängen (SSS),
•    eine Seitenlänge und zwei Winkel (WSW),
•    zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel (SWS),
•    zwei Seitenlängen und Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt (SsW)
•    zwei Winkel und die nebenliegende Seite (WWS)

Im Allgemeinen sind für die Konstruktion eines Dreiecks drei Bestimmungsstücke notwendig − mit einer Ausnahme: die Angabe der drei Winkel genügt nicht.
Durch das Zeichnen des Dreiecks können die fehlenden Größen gemessen werden. Da das Messen ungenau ist, ist es das Ziel die fehlenden Werte rechnerisch zu bestimmen.

Wir beschränken uns erst einmal auf rechtwinklige Dreieck. Somit ist immer ein Winkel (90°) gegeben und der Fall SSS kommt nicht vor. Ein beispielhaftes Dreieck sieht somit wie folgt aus:
Dreieck
Welche der fehlenden Werte (Seitenlängen und Winkelgrößen) lassen sich bisher berechnen? Wir unterscheiden die folgenden Fälle:

SWS
Die dritte Seite kann mit Hilfe des Satzes von Phythagoras (a² + b² = c²)berechnet werden. Die anderen beiden Winkel können bisher nicht berechnet werden.

WSW und SWW
Der dritte Winkel kann mit Hilfe des Winkelsummensatzes (Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt 180°) berechnet werden. Die anderen beiden Seiten können bisher nicht berechnet werden.

Problem:
Die Berechnung der Winkel bei nur einem gegebenen Winkel bzw. die Berechnung der Seiten bei nur einer gegebenen Seite ist mit den bisherigen Formeln nicht möglich.
 
Zusammenfassung
Bei rechtwinkligen Dreiecken müssen entweder zwei Seiten oder ein Winkel und eine Seite bekannt sein. Dann ist es das Dreieck eindeutig konstruierbar. D.h. alle weiteren Größenangaben ließen sich zeichnerisch bestimmen. Ein 3. Winkel bzw. eine 3. Seite lassen sich sogar ausrechnen. Die restlichen fehlenden Größen können bisher aber noch nicht berechnet werden.
Verhältnisse



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